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음수 0보다 작은 숫자입니다. 양수와 반대입니다. 예를 들어, 양수가 은행 예금을 나타내는 경우, 음수가 같은 금액의 인출을 나타냅니다. 음수는 일반적으로 반대 숫자 앞에 음수 부호 (빼기 부호라고도 함)를 써서 작성합니다. 따라서 7의 반대는 -7로 쓰여집니다. 음수 세트가 자연수 및 0과 결합되면 결과는 정수 세트입니다. 정수, (독일 사람 , 복수형 잘렌)도 작성 .

유리수

에이 유리수 는 정수 분자와 0이 아닌 자연수 분모를 가진 분수로 표현할 수있는 숫자입니다. 분수 / 또는

대표 동등한 부분 그 크기의 동일한 부분이 하나의 전체를 구성합니다. 두 개의 다른 분수는 동일한 유리수에 해당 할 수 있습니다. 예를 들어 1/2와 2/4는 같습니다.

.

의 절대 값이 ~보다 크다 분수의 절대 값은 1보다 큽니다. 분수는 1보다 크거나 작거나 같을 수 있으며 양수, 음수 또는 0 일 수도 있습니다. 모든 정수는 분모가 1 인 분수로 쓸 수 있기 때문에 모든 유리수 세트에는 정수가 포함됩니다. 예를 들어 -7은 -7/1로 쓸 수 있습니다. 유리수의 기호는 (에 대한 )도 작성 .

실수

그만큼 실수 모든 측정 번호를 포함하십시오. 실수는 일반적으로 소수점을 사용하여 작성되며 소수점 자리는 자리 값이 1 인 자리 오른쪽에 배치됩니다. 소수점 오른쪽의 각 자릿수는 왼쪽 자릿수의 자리 값의 1/10입니다. 그러므로

1, 2, 3, 4, 4, 5, 6 천을 나타냅니다. 숫자를 말할 때, 소수점은 "점"으로 읽히므로 "1 2 3 점 4 5 6"입니다. 미국과 영국 및 기타 여러 국가에서는 소수점이 마침표로 표시되는 반면 유럽 대륙 및 다른 국가에서는 소수점이 쉼표로 표시됩니다. 0은 정수가 아닌 실수로 처리되어야 함을 나타 내기 위해 필요할 때 종종 0.0으로 작성됩니다. 음의 실수는 앞에 빼기 부호로 표시됩니다.

.

모든 합리적인 숫자도 실수입니다. 분수를 소수로 쓰려면 분자를 분모로 나눕니다. 그러나 모든 실수가 합리적인 것은 아닙니다. 실수를 두 정수의 일부로 쓸 수없는 경우 비이성적이라고합니다. 분수로 쓸 수있는 10 진수는 나누기 문제에 대한 답이므로 종료 (종료) 또는 영원히 반복됩니다. 따라서 실수 0.5는 1/2로 쓸 수 있고 실수 0.333… (영원히 3 개 반복)은 1/3로 쓰여질 수 있습니다. 반면에, 원의 직경 대 직경의 비율 인 실수 π (pi)는

.

소수는 끝나지 않고 영원히 반복되지 않으므로 소수로 쓸 수 없으며 비합리적인 수의 예입니다. 다른 비합리적인 숫자는 다음과 같습니다

(2의 제곱근, 즉 제곱이 2 인 양수).

분수를 여러 가지 방법으로 쓸 수있는 것처럼 소수도 가능합니다. 예를 들어 방정식의 양변에 곱하면

3시에 의해, 우리는

.

따라서 1.0과 0.999…는 자연수 1을 나타내는 두 개의 서로 다른 10 진수입니다. 숫자 1을 나타내는 다른 많은 방법, 예를 들어 2/2, 3/3, 1.00, 1.000 등이 무한히 많이 있습니다.

모든 실수는 합리적이거나 비합리적입니다. 모든 실수는 숫자 라인의 한 점에 해당합니다. 실수에는 최소 상한 속성이라고하는 중요하지만 고도의 기술적 속성이 있습니다. 실수의 상징은 아르 자형 또는 .

실수가 측정을 나타내는 경우 항상 오차 한계가 있습니다. 이것은 종종 소수점 이하 반올림 또는 잘림으로 표시되므로 측정 자체보다 더 큰 정확도를 나타내는 숫자가 제거됩니다. 나머지 숫자를 유효 숫자라고합니다. 예를 들어, 눈금자를 사용한 측정은 최소 0.01 미터의 오차 한계없이 거의 수행 할 수 없습니다. 사각형의 변이 1.23 미터 및 4.56 미터로 측정되면 곱셈은 5.6088 평방 미터의 사각형 영역을 제공합니다. 소수점 이하 첫 번째 두 자리 만 유효하므로 일반적으로 5.61로 반올림됩니다.

추상 대수에서, 실수는 유일하게 완전한 정렬 된 필드 인 것을 특징으로하는 동형에 이른다. 그러나 대수적으로 닫힌 필드는 아닙니다.

복소수

더 높은 수준의 추상화로 이동하면 실수는 복소수. 이 숫자 집합은 역사적으로 음수가 제곱근을 가질 수 있는지에 대한 질문에서 생겨났습니다. 이것은 새로운 숫자의 발명을 이끌어 냈습니다. 음수의 제곱근은 나는, 레온하르트 오일러 (Leonhard Euler)가 지정한 상징으로, 가상의 단위라고 불렀습니다 복소수는 모든 형태의 숫자로 구성됩니다.

어디에 에이 실수입니다. 표현에서 에이 + 바이실수 에이 라고합니다 진짜 부분바이 라고합니다 허수 부. 복소수의 실수 부분이 0이면 숫자를 허수라고하거나 순전히 상상의; 허수 부가 0이면 숫자는 실수입니다. 따라서 실수는 복소수의 하위 집합입니다. 복소수의 실수 부와 허수 부가 모두 정수인 경우 숫자를 가우시안 정수라고합니다. 복소수의 기호는 기음 또는 .

추상 대수에서 복소수는 대수적으로 닫힌 필드의 예입니다. 이는 복잡한 계수를 갖는 모든 다항식이 선형 인수로 인수 분해 될 수 있음을 의미합니다. 실수 시스템과 마찬가지로 복소수 시스템은 필드이며 완벽하지만, 실제 숫자와 달리 순서는 다릅니다. 즉, 그 말에 의미가 없습니다 나는 1보다 크거나 나는 기술적 인 측면에서, 복소수에는 3 분할 적분 특성이 없습니다.

복소수는 복소 평면의 점에 해당하며 때로는 Argand 평면이라고도합니다.

위에서 언급 한 각 숫자 체계는 다음 숫자 체계의 적절한 부분 집합입니다. 상징적으로, 아르 자형기음.

계산 가능한 숫자

계산의 문제로 이동 계산 가능한 숫자 실수 세트로 결정됩니다. 계산 가능한 숫자, 재귀 숫자 아니면 그 계산 가능한 실재은 유한 종결 알고리즘에 의해 원하는 정밀도 내에서 계산 될 수있는 실수입니다. 알고리즘의 공식적인 표현으로 μ-recursive 함수, Turing machine 또는 λ-calculus를 사용하여 동등한 정의를 제공 할 수 있습니다. 계산 가능한 숫자는 실제 닫힌 필드를 형성하며 많은 수학적 목적으로 많은 수의 실제 목적 대신 실수 대신 사용할 수 있습니다.

다른 유형

하이퍼 리얼과 하이퍼 컴플렉스 숫자는 비표준 분석에 사용됩니다. 초현실, 또는 비표준 실재 (보통 *로 표시아르 자형), 실수의 정렬 된 필드의 적절한 확장 인 정렬 된 필드를 나타냅니다. 아르 자형 그리고 이전 원칙을 충족시킵니다. 이 원칙은 아르 자형 *에 관한 진정한 1 차 진술로 재 해석아르 자형.

초현실 및 초현실적 숫자는 무한히 작은 숫자와 무한히 큰 숫자를 추가하여 실수를 확장하지만 여전히 필드를 형성합니다.

p-adic 숫자의 기본 개념은 다음과 같습니다. 실수는 소수점 오른쪽으로 무한 확장 될 수 있지만이 숫자는 왼쪽으로 무한 확장 할 수 있습니다. 숫자 체계는 숫자에 사용되는 염기에 따라 달라집니다. 모든 염기가 가능하지만 밑이 소수 인 경우 최상의 수학적 특성을 가진 시스템을 얻을 수 있습니다.

무한 수집을 처리하기 위해 자연수는 서수와 기수로 일반화되었습니다. 전자는 컬렉션의 순서를 제공하고 후자는 크기를 지정합니다. 유한 집합의 경우 서수와 기수는 동일하지만 무한 대수에 따라 다릅니다.

특수 용도의 다른 숫자 세트도 있습니다. 일부는 복소수의 부분 집합입니다. 예를 들어, 대수는 합리적인 계수를 갖는 다항식의 근입니다. 대수가 아닌 복소수를 초월수라고합니다.

복소수의 부분 집합이 아닌 숫자 세트를 하이퍼 컴플렉스 숫자라고도합니다. 쿼터니언 포함 H, William Rowan Hamilton 경은 곱셈이 정식이 아닌 옥토 니온과 곱셈이 연관되지 않은 옥토 니온에 의해 발명되었습니다. 0이 아닌 특성의 함수 필드 요소는 숫자와 같은 방식으로 작동하며 종종 숫자 이론가에 의해 숫자로 간주됩니다.

또한, 다양한 특정 종류의 숫자가 자연수와 정수의 세트로 연구됩니다.

우수 "불균등 한"2, 즉 나머지없이 2로 나눌 수있는 정수이고; 과 홀수 는 2로 균등하게 나눌 수없는 정수입니다. ( "균등하게 나눌 수있는"구식 용어는 이제 거의 항상 "나눗셈 가능"으로 줄어 듭니다.) 홀수의 공식 정의는 형식의 정수라는 것입니다 = 2케이 + 1, 여기서 케이 정수입니다. 짝수의 형태는 = 2케이 어디에 케이 정수입니다.

에이 완벽한 숫자 는 적절한 양의 제수의 합, 즉 숫자 자체를 포함하지 않는 양의 제수의 합인 양의 정수로 정의됩니다. 마찬가지로, 완전 수는 모든 양의 제수의 합의 절반 인 σ 또는 σ입니다.(엔) = 2 . 1, 2, 3은 적절한 양의 제수이고 1 + 2 + 3 = 6이므로 첫 번째 완전 숫자는 6입니다. 다음 완전 숫자는 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14입니다. 496 및 8128 (OEIS의 서열 A000396). 이 처음 네 완벽한 숫자는 초기 그리스 수학에 알려진 유일한 숫자였습니다.

에이 figurate 번호 는 규칙적이고 불연속적인 기하학적 패턴 (예 : 점)으로 표시 될 수있는 숫자입니다. 패턴이 다 주제 인 경우, figurate는 다 항목 번호이며 다각형 또는 다면체 번호. r = 2, 3 및 4에 대한 폴리 토픽 수는 다음과 같습니다.

  • 2(n) = 1/2 ( + 1) (삼각 숫자)
  • 3(n) = 1/6 ( + 1)( + 2) (사면체 숫자)
  • 4(n) = 1/24 ( + 1)( + 2)( + 3) (펜타 토프 숫자)

역사

정수의 역사

숫자의 첫 사용

처음으로 알려진 숫자의 사용은 기원전 30000 년경으로 거슬러 올라갑니다. 뼈나 다른 유물은 종종 탈리 마크로 간주되는 마크를 잘라서 발견되었습니다. 이 탈리 마크의 사용은 일 수와 같은 경과 시간 계산 또는 금액 기록 유지에서 발생하는 것으로 제안되었습니다.

적산 시스템은 장소 값 개념 (예 : 현재 사용되는 십진 표기법)이 없으며, 이는 많은 수의 표현을 제한하므로 종종 이것이 사용될 첫 번째 종류의 추상 시스템으로 간주됩니다. 수치 체계로 간주됩니다.

장소 값을 갖는 최초의 알려진 시스템은 메소포타미아 (Mesopotamian)베이스 60 시스템 (기원전 3400 년경)이었으며 가장 오래된 알려진베이스 10 시스템은 기원전 3100 년으로 거슬러 올라갑니다. 이집트에서.1

제로의 역사

추가 정보 : 제로의 역사

숫자로 0을 사용하는 것은 자리 값 시스템에서 자리 표시 자 숫자로 사용하는 것과 구별되어야합니다. 많은 고대 인도 텍스트는 산스크리트어 단어를 사용합니다 순야 의 개념을 참조 ; 수학 텍스트에서이 단어는 종종 숫자 0을 나타내는 데 사용됩니다.2 비슷한 맥락에서, 파 이니 (기원전 5 세기)는 영 (0) 연산자 (즉, 람다 생산)를 아슈 타야이, 산스크리트어 언어에 대한 그의 대수 문법).

기록에 따르면 고대 그리스인들은 숫자로 0의 상태에 대해 확신이 없었던 것으로 나타났습니다. 흥미로운 철학적, 중세 시대에는 제로와 진공의 본질과 존재에 대한 종교적 주장을 이끌어 냈습니다. 엘리아 제노의 역설은 대체로 0의 불확실한 해석에 달려 있습니다. (고대 그리스인들은 1이 숫자인지 물었습니다.)

멕시코 중남부의 올멕 사람들은 기원전 4 세기까지 신세계에서 참 제로 (조각 모양)를 사용하기 시작했습니다. 그러나 기원전 40 년까지 마야 숫자와 마야 달력의 필수 요소가되었지만 구세계 숫자 시스템에는 영향을 미치지 않았습니다.

히파르코스와 바빌로니아 사람들에 의해 영향을받은 프톨레마이오스 (Ptolemy)는 성별 그리스어 숫자 체계 내에서 영 (0) 기호 (긴 오버 바가있는 작은 원)를 사용했다. 자리 표시자가 아닌 단독으로 사용 되었기 때문에이 헬레니즘 제로는 문서화 구세계에서 진정한 제로 사용. 나중에 그의 비잔틴 사본에서 Syntheaxis Mathematica (거의), 헬레니즘 제로는 그리스 문자 omicron (그렇지 않으면 70을 의미)으로 변형되었습니다.

또 다른 진정한 제로는 로마 숫자와 함께 525 (디오니 시우스 Exiguus에 의해 처음 사용 된)와 함께 테이블에서 사용되었지만 단어로, nulla "아무것도 아닌"을 의미하는 것이 아닙니다. 나눗셈이 나머지를 0으로했을 때 또한 "아무것도 아닌"이라는 의미가 사용되었습니다. 이 중세 0은 모든 미래의 중세 계산자 (부활절의 계산자)가 사용했습니다. 그들의 초기 이름 인 N의 고립 된 사용은 Bede 또는 동료 725의 진정한 숫자 인 로마 숫자 표에서 사용되었습니다.

Brahmagupta (Brahmasphutasiddhanta에서)에 의해 초기에 문서화 된 0의 사용은 628 년으로 거슬러 올라갑니다. 그는 0을 숫자로 취급하고 나누기를 포함하여 그와 관련된 작업에 대해 논의했습니다. 이시기 (7 세기)에이 개념은 캄보디아에 분명히 도달했으며, 문서는 그 아이디어가 나중에 중국과 이슬람 세계로 퍼져 나갔다는 것을 보여준다.

음수의 역사

음수의 추상 개념은 기원전 100 년 초에 인정되었습니다. 기원전 50 년 중국인 "수학 예술에 관한 9 장" (지우 장 수슈) 그림의 영역을 찾는 방법을 포함합니다. 빨간 막대는 양의 계수를 나타 내기 위해 사용되었고, 음의 경우 검은 색입니다. 이것은 동쪽에서 음수에 대한 가장 초기의 언급입니다. 서구에서 처음 언급 된 것은 그리스의 3 세기에 있었다. Diophantus는 (솔루션은 부정적 임) Arithmetica, 그 방정식은 터무니없는 결과를 주었다고 말합니다.

600 년대에 인도에서는 부채를 나타 내기 위해 음수가 사용되었습니다. Diophantus의 이전 참고 문헌은 Brahma-Sphuta-Siddhanta 628의 인도 수학자 Brahmagupta에 의해 더 명확하게 논의되었으며, 오늘날 사용중인 일반 형태 2 차 공식을 생성하기 위해 음수를 사용했습니다. 그러나 인도의 12 세기에 Bhaskara는 2 차 방정식에 부정적인 뿌리를 주지만 부정적인 가치는 "이 경우에는 취하지 말아야한다. 그것이 부적절하기 때문이다. 사람들은 부정적인 뿌리를 승인하지 않는다"고 말했다.

피보나치 (Fibonacci)는 차변으로 해석 될 수있는 재정 문제에 부정적인 해결책을 허용했지만, 유럽 수학자들은 대부분 17 세기까지 음수 개념에 저항했다. 리버 아바시, 1202) 이상으로 손실 플로). 동시에, 중국인은 해당 양수 숫자의 가장 오른쪽이 아닌 숫자를 통해 대각선 스트로크를 그려 음수를 나타냅니다. 유럽 ​​작업에서 음수의 첫 번째 사용은 15 세기 동안 Chuquet에 의해 이루어졌습니다. 그는 그것들을 지수로 사용했지만 그것들을 "이상한 숫자"라고 불렀습니다.

최근 18 세기에 스위스의 수학자 Leonhard Euler는 음수가 무한대보다 크다고 믿었으며, 의미가 없다는 가정에서 등식으로 반환 된 음의 결과를 무시하는 것이 일반적이었습니다. 이것이 바로 데카르트가 직교 좌표계에서 음의 해법으로 수행 한 것입니다.

이성적, 비이성적, 실수의 역사

유리수의 역사

소수의 개념은 선사 시대로 거슬러 올라갑니다. 고대 이집트인조차도 일반 분수를 특수 표기법으로 변환하는 방법을 설명하는 수학 텍스트를 작성했습니다. 고전 그리스어와 인도의 수학자들은 수 이론에 대한 일반적인 연구의 일환으로 유리수 이론에 대한 연구를 수행했습니다. 이 중 가장 잘 알려진 곳은 기원전 약 300 년에 이르는 유클리드의 요소입니다. 인도 텍스트 중에서 가장 관련성이 높은 Sthananga Sutra는 수학에 대한 일반적인 연구의 일부로 숫자 이론을 다룹니다.

소수점 이하 자릿수의 개념은 소수점 이하 자릿수 표기와 밀접한 관련이 있습니다. 두 사람이 나란히 발전한 것 같습니다. 예를 들어, Jain math sutras는 pi 또는 2의 제곱근에 대한 소수 분수 근사값 계산을 포함하는 것이 일반적입니다. 마찬가지로 바빌로니아의 수학 텍스트는 항상 큰 빈도로 섹수의 분수를 사용했습니다.

비이성 수의 역사

초기에 알려진 비이성적 인 숫자의 사용은 기원전 800 년에서 500 년 사이에 구성된 인도 술바 수트라 (Indian Sulba Sutras)에서 사용되었습니다. 비이성적 수의 첫 번째 존재 증거는 일반적으로 피타고라스, 더 구체적으로는 피타고라스의 메타 폰툼 히 파서 스 (Pythagorean Hippasus of Metapontum)에 기인합니다. 2의 제곱근을 분수로 나타내려고합니다. 그러나 피타고라스는 숫자의 절대성을 믿었고 비이성적 인 숫자의 존재를 받아 들일 수 없었습니다. 그는 논리를 통해 자신의 존재를 반증 할 수 없었지만 그의 신념은 비이성적 인 숫자의 존재를 받아들이지 않았기 때문에 익사하여 히 파수 스를 사형 선고했다.

16 세기는 음수의 정수와 소수를 가진 유럽인들의 최종 수용을 보았습니다. 17 세기에는 현대의 표기법으로 소수의 분수가 보였으며, 수학자들이 상당히 일반적으로 사용했습니다. 그러나 19 세기가 되어서야 비이성 자들이 대수적과 초월 적 부분으로 분리되고 비이성적 이론에 대한 과학적 연구가 다시 한 번 이루어졌다. 유클리드 이후 거의 휴면 상태를 유지했다.

1872 년에 Karl Weierstrass의 이론 (Kossak의 학생)이 Heine (크리 젤, 74), 게오르그 캔터 (아날 렌, 5) 및 Richard Dedekind. Méray는 1869 년 Heine과 동일한 출발점을 취했지만 이론은 일반적으로 1872 년으로 언급되었습니다. Weierstrass의 방법은 Salvatore Pincherle (1880)에 의해 완전히 확립되었으며 Dedekind는 저자의 후반 작업 (1888)을 통해 추가로 명성을 얻었습니다. 그리고 Paul Tannery (1894)의 최근 승인. Weierstrass, Cantor, Heine은 그들의 이론을 무한한 시리즈에 근거한 반면, Dedekind는 실수 시스템에서 컷 (Schnitt)이라는 아이디어를 바탕으로 모든 합리적인 숫자를 특정 특성을 가진 두 그룹으로 분리했습니다. 이 주제에 대한 공헌은 크로네 커 Weierstrass (크리 젤, 101) 및 Méray.

비이성적 인 숫자 (1613 년 카탈 디 (Cataldi)로 인해)와 밀접한 관련이있는 계속 된 분수는 오일러의 손에 주목을 받았으며, 19 세기가 시작될 때 조셉 루이 라그랑주 (Joseph Louis Lagrange)의 저술을 통해 주목을 받았다. Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) 및 Günther (1872)는 다른 주목할만한 기여를했습니다. Ramus (1855)는 먼저 대상을 결정 요인과 연결하여 결과적으로 Kettenbruchdeterminanten 이론에서 Heine, Möbius 및 Günther의 기여를 얻었습니다. Dirichlet은이 주제의 응용에 많은 기여를 한 것처럼 일반 이론에 덧붙였다.

초월수와 실수

초월 수에 관한 첫 번째 결과는 π가 합리적 일 수 없다는 램버트의 1761 증거이며 이자형 만약에 합리적이다 = 0). (상수 이자형 네이피어의 1618 년 대수에 대한 연구에서 처음으로 언급되었다.) Legendre는이 증거를 확장하여 π가 유리수의 제곱근이 아님을 보여 주었다. quintic과 high degree equation의 근본을 찾는 것은 중요한 발전이었다. Abel-Ruffini 정리 (Paolo Ruffini 1799, Niels Henrik Abel 1824)는 급진적 (산술 연산과 근을 포함하는 공식)로는 해결할 수 없다는 것을 보여 주었다. 따라서 광범위한 대수 (다항식에 대한 모든 해)를 고려해야합니다. Galois (1832)는 다항식을 그룹 이론과 연결하여 Galois 이론의 장을 일으켰다.

대수의 집합조차도 충분하지 않았고 실수의 전체 집합에는 초월 숫자가 포함됩니다. 그 존재는 Liouville (1844, 1851)에 의해 처음 확립되었습니다. 에르 미트는 1873 년에 이자형 는 초월 적이며 1882 년 Lindemann은 π가 초월적임을 증명했습니다. 마지막으로 Cantor는 모든 실수의 집합은 셀 수없이 무한하지만 모든 대수의 집합은 셀 수없이 무한하므로 무수히 많은 초월 수가 있습니다.

무한대

추가 정보 : 무한의 역사

가장 초기에 알려진 수학적 무한대 개념은 Yajur Veda (인도의 고대 대본)에 나타나 있는데, 어느 시점에서 "무한에서 부품을 제거하거나 무한대로 부품을 추가하더라도 여전히 남아있는 것은 무한대"라고 말합니다. 무한대는 기원전 400 년경자인 수학자들 사이에서 인기있는 철학적 연구 주제였습니다. 그들은 한 방향과 두 방향으로 무한, 면적, 무한, 어디서나 무한으로 다섯 종류의 무한대를 구분했습니다.

서구에서 수학적 무한의 전통적인 개념은 실제 무한과 잠재적 무한을 구별 한 아리스토텔레스에 의해 정의되었다. 일반적인 합의는 후자 만이 진정한 가치를 가졌다는 것입니다. Galileo의 Two New Sciences는 무한 세트 사이의 일대일 대응에 대한 아이디어를 논의했습니다. 그러나 이론의 다음 주요 발전은 Georg Cantor에 의해 이루어졌다. 1895 년에 그는 그의 새로운 세트 이론에 관한 책을 출판했으며, 무엇보다도 숫자를 소개하고 연속 가설을 공식화했습니다. 이것은 숫자로 무한대를 표현한 최초의 수학적 모델이었고 이러한 무한 수로 작동하기위한 규칙을 제시했습니다.

1960 년대 아브라함 로빈슨 (Abraham Robinson)은 비표준 분석 분야를 발전시키는 데 무한히 크고 무한한 수를 엄격하게 정의하고 사용할 수있는 방법을 보여주었습니다. 의 시스템 초현실적 숫자 는 Newton과 Leibniz에 의한 미적분학 발명 이후 수학자와 과학자, 엔지니어가 부담없이 사용했던 무한과 무한 수에 대한 아이디어를 다루는 엄격한 방법을 나타냅니다.

무한대의 현대 기하학 버전은 투영 공간에 의해 주어지며, 각 공간 방향에 대해 하나씩 "무한에서 이상적인 점"을 도입합니다. 주어진 방향의 평행선의 각 패밀리는 해당 이상적인 지점으로 수렴하도록 가정됩니다. 이것은 투시도에서 소실점 아이디어와 밀접한 관련이 있습니다.

복소수

음수의 제곱근에 대한 최초의 덧없는 언급은 기원전 1 세기의 수학자이자 발명가 알렉산드리아 헤론의 작품에서 이루어졌으며, 그는 피라미드의 불가능한 절두체의 양을 고려했을 때 발생했습니다. 그들은 16 세기에 이탈리아 수학자들이 3, 4도 다항식의 뿌리에 대한 공식을 찾았을 때 더욱 두드러지게되었다 (Niccolo Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano 참조). 실제 솔루션에만 관심이 있었음에도 불구하고 이러한 공식은 때때로 음수의 제곱근을 조작해야한다는 것을 깨달았습니다.

그들은 당시에 음수를 확고한 근거로 생각하지 않았기 때문에 두 배로 불안정했습니다. 이 수량에 대한 "가상"이라는 용어는 1637 년 René Descartes에 의해 만들어졌으며, 멸시적인 의미로 사용되었습니다 (복소수의 "현실"에 대한 설명은 허수 참조). 혼란의 또 다른 원인은

대수적 정체성과 변덕스럽게 일치하지 않는 것으로 보임

,

양의 실수에 유효합니다 에이,이 중 하나를 사용하여 복소수 계산에도 사용되었습니다. 에이, 긍정적이고 다른 부정적인. 이 ID와 관련 ID의 잘못된 사용

두 경우 모두 에이 악의적 인 오일러조차 부정적입니다 이 어려움으로 인해 그는 특별한 상징을 사용하는 관습으로 이끌었습니다. 나는 이 실수를 막기 위해 √-1 대신.

18 세기에는 Abraham de Moivre와 Leonhard Euler의 수고가있었습니다. 드 모아 브르 (De Moivre)는 그의 이름 인 드 모아 브르 (De Moivre)의 공식을 가지고있는 잘 알려진 공식 (1730)입니다

및 오일러 (1748) 오일러의 복잡한 분석 공식 :

1799 년 Caspar Wessel이 기하학적 해석을 설명 할 때까지 복소수의 존재는 완전히 받아 들여지지 않았다. 그것은 몇 년 후 재발견되고 Carl Friedrich Gauss에 의해 대중화되었으며, 그 결과 복소수 이론이 눈에 띄게 확장되었습니다. 그러나 복잡한 숫자의 그래픽 표현에 대한 아이디어는 1685 년 초 월리스에서 나타났습니다. 대수 tractatus.

또한 1799 년에 Gauss는 대수의 기본 정리에 대한 일반적으로 인정 된 첫 번째 증거를 제공하여 복소수에 대한 모든 다항식이 해당 영역에 완전한 솔루션 세트를 가지고 있음을 보여줍니다. 복소수 이론에 대한 일반적인 수용은 Augustin Louis Cauchy와 Niels Henrik Abel의 노력에 기인 한 것이 아니며, 특히 후자의 경우, 대수를 사용하여 잘 알려진 성공으로 대담하게 대담하게 사용했습니다.

가우스는 복잡한 형태의 숫자를 연구했습니다. 에이 + 바이어디서 에이 적분 또는 합리적 나는 의 두 뿌리 중 하나입니다 엑스2 + 1 = 0). 그의 학생 인 Ferdinand Eisenstein은 유형을 연구했습니다. 에이 + 어디서 ω 복잡한 루트입니다 엑스3 − 1 = 0. 복소수의 다른 계급 (사이클로 톰 필드)은 단일의 근에서 파생됩니다. 엑스케이 더 높은 값의 경우 − 1 = 0 케이. 이 일반화는 1893 년 펠릭스 클라인에 의해 기하학적 실체로 표현 된 이상적인 숫자를 발명 한 에른스트 쿠머 (Ernst Kummer)에 기인 한 것이 다. 에프(엑스) = 0.

1850 년 Victor Alexandre Puiseux는 극점과 분기점을 구분하는 핵심 단계를 밟아 필수 특이점 개념을 도입했습니다. 이것은 결국 확장 된 복잡한 평면의 개념으로 이어질 것입니다.

소수

기록 된 역사를 통해 소수를 연구했습니다. 유클리드는 한 권의 책을 바쳤다 집단 소수 이론에; 그것으로 그는 소수의 무한 성과 산술의 기본 정리를 증명하고 두 숫자의 가장 큰 제수를 찾는 유클리드 알고리즘을 제시했습니다.

기원전 240 년에 에라토스테네스는 에라토스테네스 체를 사용하여 소수를 빠르게 분리했습니다. 그러나 유럽의 소수 이론의 가장 발전은 르네상스 시대와 그 이후 시대로 거슬러 올라갑니다.

1796 년에 Adrien-Marie Legendre는 소수의 소수 분포를 설명하는 소수 정리를 추측했습니다. 소수 분포에 관한 다른 결과에는 소수의 역수가 합산된다는 오일러의 증거와 충분히 큰 짝수가 두 소수의 합이라고 주장하는 Goldbach 추측이 포함됩니다. 소수의 분포와 관련된 또 다른 추측은 1859 년 베른하르트 리만 (Bernhard Riemann)이 공식화 한 리만 (Riemann) 가설이다. 소수 이론은 1896 년 Jacques Hadamard와 Charles de la Vallée-Poussin에 의해 입증되었다. Goldbach와 Riemann의 추측은 여전히 ​​남아있다 증명되거나 반박됩니다.

참조

  • 0 (숫자)
  • 산수
  • 무한대
  • 정수
  • 수학 상수
  • 규모의 순서
  • 물리 상수
  • 파이
  • 소수

노트

  1. ^ 이집트 수학 파피루스. 버팔로 뉴욕 주립 대학교 수학과. 2008 년 8 월 25 일에 확인 함.
  2. ↑ Kim Plofker. 제로 스토리 : 질문. 브라운 대학교 수학과. 2008 년 8 월 25 일에 확인 함.

참고 문헌

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  • 골로 비치, 스티븐 1989. 수학적 구조 소개. 샌디에이고 : Harcourt Brace Jovanovich. ISBN 0155434683.
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  • 맥 리쉬, 존 1994. 민수기 이야기 : 수학이 문명을 형성 한 방법. 뉴욕 : 포셋 콜럼바인. ISBN 0449909387.
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  • Wells, D. G. 1998. 호기심과 재미있는 숫자의 펭귄 사전. 에드. 런던, 영국 : 펭귄 도서. ISBN 0140261494.

외부 링크

모든 링크는 2018 년 12 월 14 일에 검색되었습니다.

  • 이 번호의 특별한 점은 무엇입니까?
  • 숫자는 무엇입니까? cut-the-knot.org.
  • 메소포타미아와 게르만 숫자.
  • 우리 시대 : 음수. BBC 라디오 4.

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